可联想到工程问题中的“坡度”,及三角函数的定义。
定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。记作 ,即 。
(动画演示揭示直线倾斜角与斜率的对应关系)强调 定义域与值域的对应关系,及函数的单调性。
4、 直线过两点斜率公式的推导
【问题5】如果给定直线的倾斜角 ,我们当然可以根据斜率的定义 =tanα求出直线的斜率;如果给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜角也是确定的,那么又怎么求出直线的斜率呢?
即已知两点p1(x1,y1)、p2(x2,y2),求直线p1p2的斜率。
思路分析:首先由学生提出思路,教师启发、引导,运用正切定义,解决问题。
; x1= x2?
说明:(1)公式适用范围:注意公式中x1≠x2,即直线p1 p2不垂直x轴。因此当直线p1p2不垂直x轴时,由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率,而不需要求出倾斜角。
(2)公式与p1 和p2的顺序无关,但要注意下标的对应关系。
(三)知识应用阶段
我设计了二道例题例1是道斜率与倾斜角概念的辨析题,而例2是课本的例题已知直线的倾斜角求斜率,还设计两道变式题,目的是培养学生的发散思维能力,讨论倾斜角变化:锐角—钝角—抽象角,对斜率的影响,加深同学对斜率与倾斜角对应关系的理解。
例1:关于直线的倾斜角和斜率,下列哪些说法是正确的: (1)任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 ( ) (2)直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; ( ) (3)平行于x轴的直线的倾斜角是 ; ( ) (4)两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等; ( ) (5)直线斜率的范围是(-∞,+∞) ; ( ) (6)直线的斜率为tan ,则直线的倾斜角为 ; ( ) 说明:①当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°;②直线倾斜角的取值范围是[ ;③倾斜角是90°的直线没有斜率.。④坐标平面内,每一条直线都有唯一的倾斜角,但不是每一条直线都有斜率。 例2: 如图,直线 的倾斜角 =30°,直线 ⊥ ,求 、 的斜率。 分析:对于直线 的斜率,可通过计算 直接获得,而直线 的斜率则需要先求出倾斜角 ,而根据平面几何知识, ,然后再求 即可。