第二十一章 二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础. 教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2)理解 (a≥0)是一个非负数,( )2=a(a≥0), =a(a≥0). (3)掌握 · = (a≥0,b≥0), = · ; = (a≥0,b>0), = (a≥0,b>0). (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减. 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简. (2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,并运用规定进行计算. (3)利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简. (4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力. 教学重点 1.二次根式 (a≥0)的内涵. (a≥0)是一个非负数;( )2=a(a≥0); =a(a≥0)及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1.对 (a≥0)是一个非负数的理解;对等式( )2=a(a≥0)及 =a(a≥0)的理解及应用. 2.二次根式的乘法、除法的条件限制. 3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式. 教学关键 1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点. 2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神. 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时,具体分配如下: 21.1 二次根式 3课时 21.2 二次根式的乘法 3课时 21.3 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时 共6页,当前第1页123456
21.1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念,并利用 (a≥0)的意义解答具体题目. 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 教学重难点关键 1.重点:形如 (a≥0)的式子叫做二次根式的概念; 2.难点与关键:利用“ (a≥0)”解决具体问题. 教学过程abc 一、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y= ,那么它的图象在第一象限横、 纵坐标相等的点的坐标是_________. 问题2:如图,在直角三角形abc中,ac=3,bc=1,∠c=90°, 那么ab边的长是__________.
问题3:正方形的面积为s,则它的边长为_____. 老师点评:问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以x= , 所以所求点的坐标( , ). 问题2:由勾股定理得ab= 问题3: 二、探索新知很明显 、 、 ,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号. 由于二次根式的被开方数只能取非负值,因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。 从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件: ( 1 ) 必须有二次根号; ( 2 ) 被开方数不能小于0 。 (学生活动)议一议: 1、4的平方根是_____;0的平方根是______;-16的平方根是____. 5的平方根是_______;5的算术平方根是____. 2、-1有算术平方根吗? 3、0的算术平方根是多少? 4、当a<0, 有意义吗? 老师点评:(略) 例1. 下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、 、 、 (x>0)、 、 、- 、 、 (x≥0,y≥0)。 例2. 、 、 、 、 . 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“ ”;第二,被开方数是正数或0. 例1解:二次根式有: 、 (x>0)、 、- 、 (x≥0,y≥0);不是二次根式的有: 、 、 、 . 例2解:例如 : ∵m2≥0, ∴m2+1>0 ∴ 是二次根式. 例如 : ∵ 2≥0, ∴ 是二次根式; 例如 : ∵n2≥0,∴-n2≤0,∴当n=0时 才是二次根式; 例如 : 当a-2≥0时是二次根式,当 -2<0时不是二次根式; 即当 ≥2是二次根式,当 <0时不是二次根式; 例如 : 当x-y≥0时是二次根式,当 x-y<0时不是二次根式; 即当x≥y是二次根式,当x<y时不是二次根式. 例3.当x是多少时, 在实数范围内有意义? 分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0, 才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x≥ 当x≥ 时, 在实数范围内有意义. 三、巩固练习:第 5 页 练习 1、2、3共6页,当前第2页123456补充例题: 例:x 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义? ( 1 ) ( 2 ) 解: ( 1 ) 由 ≥ 0 ,解得:x 取任意实数 ∴ 当 x 取任意实数时,二次根式 在实数范围内都有意义。 ( 2 ) 由 x -1 ≥ 0 ,且 x -1 ≠ 0 解得:x > 1 ∴ 当 x > 1时,二次根式 在实数范围内都有意义。 课堂练习: 1.x取什么实数时,下列各式有意义. (1) ; (2) ; (3) ; (4) 四、应用拓展 例4.当x是多少时, + 在实数范围内有意义? 分析:要使 + 在实数范围内有意义,必须同时满足 中的≥0和 中的x+1≠0. 解:依题意,得 由①得:x≥- 由②得:x≠-1 当x≥- 且x≠-1时, + 在实数范围内有意义. 例5(1)已知y= + +5,求 的值.(答案:2) (2)若 + =0,求aXX+bXX的值.(答案: ) 五、归纳小结(学生活动,老师点评) 本节课要掌握: 1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号. 2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 六、布置作业 1.教材p8复习巩固1、综合应用5. 2.选用课时作业设计.
21.1.2 二次根式 教学内容 1. (a≥0)是一个非负数; 2.( )2=a(a≥0). 教学目标 理解 (a≥0)是一个非负数和( )2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简. 通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出 (a≥0)是一个非负数,用具体数据结合算术平方根的意义导出( )2=a(a≥0);最后运用结论严谨解题. 教学重难点关键 1.重点: (a≥0)是一个非负数;( )2=a(a≥0)及其运用. 2.难点、关键:用分类思想的方法导出 (a≥0)是一个非负数; 用探究的方法导出( )2=a(a≥0). 教学过程 一、复习引入 (学生活动)口答 1.什么叫二次根式? 2.当a≥0时, 叫什么?当a<0时, 有意义吗? [老师点评(略).] 二、探究新知共6页,当前第3页123456 议一议:(学生分组讨论,提问解答) (a≥0)是一个什么数呢? 老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出 (a≥0)是一个非负数. 做一做:根据算术平方根的意义填空: ( )2=_______;( )2=_______;( )2=______;( )2=_______; ( )2=______;( )2=_______;( )2=_______. 老师点评: 是4的算术平方根,根据算术平方根的意义, 是一个平方等于4的非负数,因此有( )2=4. 同理可得:( )2=2,( )2=9,( )2=3,( )2= ,( )2= ,( )2=0,所以
( )2 = a(a ≥ 0) 例1 计算 1.( )2 2.(3 )2 3.( )2 4.( )2 分析:我们可以直接利用( )2=a(a≥0)的结论解题. 解:( )2 = ,(3 )2 =32·( )2=32·5=45, ( )2= ,( )2= . 三、巩固练习 计算下列各式的值: ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 (4 )2 四、应用拓展 例2 计算 1.( )2(x≥0) 2.( )2 3.( )2 4.( )2 分析:(1)因为x≥0,所以x+1>0;(2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)≥0; (4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0. 所以上面的4题都可以运用( )2=a(a≥0)的重要结论解题. 解:(1)因为x≥0,所以x+1>0,( )2=x+1 (2)∵a2≥0,∴( )2=a2(3)∵a2+2a+1=(a+1)2 , 又∵(a+1)2≥0, ∴a2+2a+1≥0 ,∴ =a2+2a+1 (4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2 , 又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0,∴( )2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式: (1)x2-3 (2)x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握: 1. (a≥0)是一个非负数; 2.( )2=a(a≥0);反之:a=( )2(a≥0). 六、布置作业 1.教材p8 复习巩固2.(1)、(2) p9 7. 2.选用课时作业设计. 第二课时作业设计 一、选择题 1.下列各式中 、 、 、 、 、 ,二次根式的个数是( ). a.4 b.3 c.2 d.1 2.数a没有算术平方根,则a的取值范围是( ). a.a>0 b.a≥0 c.a<0 d.a=0 二、填空题共6页,当前第4页123456 1.(- )2=________. 2.已知 有意义,那么是一个_______数. 三、综合提高题 1.计算 (1)( )2 (2)-( )2 (3)( )2 (4)(-3 )2 (5) 2.把下列非负数写成一个数的平方的形式: (1)5 (2)3.4 (3) (4)x(x≥0) 3.已知 + =0,求xy的值. 4.在实数范围内分解下列因式: (1)x2-2 (2)x4-9 3x2-5 第二课时作业设计答案: 一、1.b 2.c 二、1.3 2.非负数 三、1.(1)( )2=9 (2)-( )2=-3 (3)( )2= ×6= (4)(-3 )2=9× =6 (5)-6 2.(1)5=( )2 (2)3.4=( )2 (3) =( )2 (4)x=( )2(x≥0) 3. xy=34=81 4.(1)x2-2=(x+ )(x- ) (2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+ )(x- ) (3)略
21.1.3 二次根式 教学内容 =a(a≥0) 教学目标 理解 =a(a≥0)并利用它进行计算和化简. 通过具体数据的解答,探究 =a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题. 教学重难点关键 1.重点: =a(a≥0). 2.难点:探究结论. 3.关键:讲清a≥0时, =a才成立. 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容; 1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式; 2. (a≥0)是一个非负数; 3.( )2=a(a≥0). 那么,我们猜想当a≥0时, =a是否也成立呢?下面我们就来探究这个问题. 二、探究新知 (学生活动)填空: =_______; =_______; =______; =________; =________; =_______. (老师点评):根据算术平方根的意义,我们可以得到: =2; =0.01; = ; = ; =0; = . 因此,一般地: =a(a≥0) 例1 化简 (1) (2) (3) (4) 分析:因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52, (4)(-3)2=32,所以都可运用 =a(a≥0)去化简. 解:(1) = =3 (2) = =4 (3) = =5 (4) = =3 三、巩固练习共6页,当前第5页123456 教材p7练习2. 四、应用拓展 例2 填空:当a≥0时, =_____;当a<0时, =_______,并根据这一性质回答下列问题. (1)若 =a,则a可以是什么数? (2)若 =-a,则a可以是什么数? (3) >a,则a可以是什么数? 分析:∵ =a(a≥0),∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“( )2”中的数是正数,因为,当a≤0时, = ,那么-a≥0. (1)根据结论求条件;(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)、(2)可知 =│a│,而│a│要大于a,只有什么时候才能保证呢?a<0. 解:(1)因为 =a,所以a≥0; (2)因为 =-a,所以a≤0; (3)因为当a≥0时 =a,要使 >a,即使a>a所以a不存在;当a<0时, =-a,要使 >a,即使-a>a,a<0综上,a<0 例3当x>2,化简 - . 五、归纳小结 本节课应掌握: =a(a≥0)及其运用,同时理解当a<0时, =-a的应用拓展. 六、布置作业 1.教材p8习题21.1 3、4、6、8. 2.选作课时作业设计. 第三课时作业设计 一、选择题 1. 的值是( ). a.0 b. c.4 d.以上都不对 2.a≥0时, 、 、- ,比较它们的结果,下面四个选项中正确的是( ). a. = ≥- b. > >- c. < <- d.- > = 二、填空题 1.- =________. 2.若 是一个正整数,则正整数m的最小值是________. 三、综合提高题 1.先化简再求值:当a=9时,求a+ 的值,甲乙两人的解答如下: 甲的解答为:原式=a+ =a+(1-a)=1; 乙的解答为:原式=a+ =a+(a-1)=2a-1=17. 两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________. 2.若│1995-a│+ =a,求a-19952的值. (提示:先由a-XX≥0,判断1995-a的值是正数还是负数,去掉绝对值) 3. 若-3≤x≤2时,试化简│x-2│+ + 。共6页,当前第6页123456