(证实:因为 ,所以 ,即 .)
[点评]
①利用某些已知证实过的不等式(例如平均值定理)和不等式的性质推导出所要证实的不等式成立,这种证实方法通常叫做综合法.
②综合法证题方法:由已知推出结论.这里已知可以是已知的重要不等式,也可以是已知的不等式性质.
设计意图:探索解决问题的新方法,建立新知识,构建用综合法证实不等式的方法原理.
例题示范、学会应用
(教师活动)教师板书例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会用综合法证实不等式,并点评用综合法证实不等式必须注重的问题.
(学生活动)学生在教师诱导下,研究问题,与教师一道完成问题的论证.
例1已知 ,求证
[分析]由于不等式左边是和的形式,右边为常数,可用平均值定理作为已知不等式推证.
证实:因为 ,则 ,所以 .故
[点评]此题的证实方法是综合法,在证实过程中,把平均值定理作为已知不等式,而平均值定理是有条件限制的,所以要用重要不等式作为已知不等式,注重要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征.
例2 已知a,b,c是不全相等的正数,求证
[分析]由不等式右边为6abc是积的形式,左边是和的形式,可知由 出发可证.
证实一(见课本)
证实二:
因为a,b,c是不全相等的正数.所以 , , ,且三式不能全取“=”号.
所以
即
[点评]
①综合法的思维特点是:由已知推出结论.用综合法证实不等式中常用的重要不等式有:
; ( ); ( ); (a,b同号), ( )。
②此例中条件a,b,c是不全相等的正数,所以最后所证不等式取不到等号.
③由于作为综合法证实依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出
的,所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证实.
我们在证实不等式时,选择方法要适当,不要对某种方法抱定不放,要善于观察,根据题目的特征选择证题方法.
设计意图:巩固用综合法证实不等式的知识,把握用综合法证实不等式中,常用的重要不等式,理解综合法证实不等式与比较法证实不等式的内在联系.
课堂练习
(教师活动)打出字幕(练习),请甲、乙两位同学板演,巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定,对偏差及时纠正,点评练习中存在的问题.
(学生活动)在笔记本上完成练习.甲、乙两位同学板演.
[字幕]练习1 已知,求证
2.已知 ,求证
设计意图:把握用综合法证实不等式,并会灵活运用重要不等式作为证实中的已知不等式.反馈课堂效果,调节课堂教学.
分析归纳,小结解法