下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到,从而可知双曲线
(a>0,b>0)的图形在远处与直线
无限接近,直线
叫做双曲线
(a>0,b>0)的渐近线。我就是这样将渐近线的发现作为重点,充分暴露思维过程,培养学生的创造性思维,通过诱导、分析,巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中,学生也易接受。
(2)证明
如何证明直线
是双曲线
(a>0,b>0)的渐近线呢?
启发思考①:首先,逐步接近,转换成什么样的数学语言?(x→∞,d→0)
启发思考②:显然有四处逐步接近,是否每一处都进行证明?
启发思考③:锁定第一象限后,具体地怎样利用x表示d
(工具是什么:点到直线的距离公式)
启发思考④:让学生设点,而d的表达式较复杂,能否将问题进行转化?
分析:要证明直线
是双曲线
(a>0,b>0)的渐近线,即要证明随着x的增大,直线和曲线越来越靠拢。也即要证曲线上的点到直线的距离
|mq|越来越短,因此把问题转化为计算|mq|。但因|mq|不好直接求得,因此又可以把问题转化为求|mn|。
启发思考⑤:这样证明后,还须交代什么?
(在其他象限,同理可证,或由对称性可知有相似情况)
引导学生层层深入的进行探究,从而更深刻的理解双曲线的渐近线的发现及证明过程。
(3)深化
再来研究实轴在y轴上的双曲线
(a>0,b>0)的渐近线方程就会变得容易很多,此时可利用类比的方法或者利用对称性得到焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程即为
。
这样,我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题,从而可比较精确的画出双曲线。但是如果仔细观察渐近线实质就是双曲线过实轴端点、虚轴端点,作平行与坐标轴的直线
所成的矩形的两条对角线,数形结合,来加强对双曲线的渐近线的理解。
4.离心率的几何意义
椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度,双曲线离心率有何几何意义呢?不难得到:
,这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。通过对离心率的研究,同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。
由等式
,可得:
,不难发现:e越小(越接近于1),
就越接近于0,双曲线开口越小;e越大,
就越大,双曲线开口越大。所以,双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究,就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系,更加准确的作出双曲线的图形。
5. 例题分析
为突出本节内容,使学生尽快掌握刚才所学的知识。我选配了这样的例题:
例1.求双曲线9x2-16y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。选题目的在于拿到一个双曲线的方程之后若不是标准式,要先将所给的双曲线方程化为标准方程,后根据标准方程分别求出有关量。本题求渐近线的方程的方法:(1)直接根据渐近线方程写出;(2)利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。加强对于双曲线的渐近线的应用和理解。
变1:求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。选题目的:和上题相同先将所给的双曲线方程化为标准方程,后根据标准方程分别求出有关量;但求渐近线时可直接求出,也可以利用对称性来求解。