(3)归纳直线与平面垂直的判定定理
①思考:由折痕ad⊥bc,翻折之后垂直关系,即ad⊥cd,ad⊥bd发生变化吗?由此你能得到什么结论?
②归纳出直线与平面垂直的判定定理。
定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
用符号语言表示为:
在讨论实际问题时,学生同桌合作进行试验(将铁丝当旗杆,桌面当地面)后交流方案,如用直角三角板量一次,量两次等。教师不作点评,说明完成下面的折纸试验后就有结论。
在折纸试验中,学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况,引导这两类学生进行交流,根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸,进而探究直线与平面垂直的条件,经过讨论交流,使学生发现只要保证折痕ad是bc边上的高,即ad⊥bc,翻折后折痕ad就与桌面垂直,再利用多媒体演示翻折过程,增强几何直观性。
在归纳直线与平面垂直的判定定理时,先让学生叙述结论,不完善的地方教师引导、补充完整,并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实,简要说明直线与平面垂直的判定定理。然后,学生试用图形语言表述,练习本上画图,可能出现垂足与两相交直线交点重合的情况(如图),教师加以说明,同时给出符号语言表述。
在理解直线与平面垂直的判定定理时,强调“两条”、“相交”缺一不可,并结合前面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。
3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用
(1)尝试练习:
求证:与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。
学生根据题意画图,将其转化为几何命题:不妨设
请三位同学板演,其余同学在练习本上完成,师生共同评析,明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤,防止缺少条件,同时指出:这为证明“线线垂直”提供了一种方法。
(2)尝试练习:如图,有一根旗杆ab高8m,它的顶端a挂有两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)c、d。如果这两点都和旗杆脚b的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直.为什么?
本题需要通过计算得到线线垂直。学生练习本上完成后,对照课本p69例1,完善自己的解题步骤。
(3)尝试练习:如图,已知a∥b,a⊥α,求证:b⊥α。
此题有一定难度,教师引导学生分析思路,可利用线面垂直的定义证,也可用判定定理证,提示辅助线的添法,学生练习本上完成,对照课本p69例2,完善自己的解题步骤。
4.总结反思
(1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法?
(2)在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题?
(3)本节课你还有哪些问题?
学生发言,互相补充,教师点评,归纳出判断直线与平面垂直的方法,给出框图(投影展示),同时,说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法,强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路,并鼓励学生反思,大胆质疑,教师作好记录,以便查缺补漏。