我们已学过积商绝对值的性质,哪位同学回答一下?
.
当 时,有: 或 .
二、引入新课
由上可知,积的绝对值等于绝对值的积;商的绝对值等于绝对值的商。
那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗?
1.定理探索
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差,我们猜想
.
怎么证实你的结论呢?
用分析法,要证 .
只要证
即证
即证 ,
而 显然成立,
故
那么怎么证 ?
同样可用分析法
当 时,显然成立,
当 时,要证
只要证 ,
即证
而 显然成立。
从而证得 .
还有别的证法吗?(学生讨论,教师提示)
由 与 得 .
当我们把 看作一个整体时,上式逆用 可得什么结论?
。
能用已学过得的 证实 吗?
可以 表示为 .
即 (教师有计划地板书学生分析证实的过程)
就是含有绝对值不等式的重要定理,即 .
由于定理中对 两个实数的绝对值,那么三个实数和的绝对值呢? 个实数和的绝对值呢?
亦成立
这就是定理的一个推论,由于定理中对 没有非凡要求,假如用 代换 会有什么结果?(请一名学生到黑板演)
,
用 代 得 ,
即 。
这就是定理的推论 成立的充要条件是什么?
那么 成立的充要条件是什么?
.
例1 已知 ,求证 . (由学生自行完成,请学生板演)
证实:
例2 已知 ,求证 .
证实:
点评:这是为今后学习极限证实做预备,要习惯和“配凑”的方法。
例3 求证 .
证法一:(直接利用性质定理)在 时,显然成立.
当 时,左边
.
证法二:(利用函数的单调性)研究函数 在 时的单调性。
设 ,
, 在 时是递增的.
又 ,将 , 分别作为 和 ,则有
(下略)
证法三:(分析法)原不等式等价于 ,
只需证 ,
即证
又 ,
显然成立.
原不等式获证。
还可以用分析法证得 ,然后利用放缩法证得结果。
三、随堂练习
1.①已知 ,求证 .
②已知 求证 .