③ 经过点p(5,1),圆心在点c(8,-3):_______________________
2、 变式题[多媒体演示]
① 求以c(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
答案:(x-1)2 + (y-3)2 =
② 已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。
答案: c(a,0), r=|a|
ⅲ.例题分析、巩固应用
师:下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
[例1] 已知圆的方程是 x2+y2=17,求经过圆上一点p(,)的切线的方程。
师:你打算怎样求过p点的切线方程?
生:要求经过一点的直线方程,可利用直线的点斜式来求。
师: 斜率怎样求?
生:。。。。。。
师:已知条件有哪些?能利用吗?不妨结合图形来看看(如图)
生:切线与过切点的半径垂直,故斜率互为负倒数
半径op的斜率 k1=, 所以切线的斜率 k=-=-
所以所求切线方程:y-= -(x-)
即:x+y=17 (教师板书)
师:对照圆的方程x2+y2=17和经过点p(,)的切线方程x+y=17,你能作出怎样的猜想?
生:。。。。。。
师:由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点p(,)有何关系?
(若看不出来,再看一例)
[例1/] 圆的方程是x2+y2=13,求过此圆上一点(2,3)的切线方程。
答案:2x+3y=13 即:2x+3y-13=0
师:发现规律了吗?(学生纷纷举手回答)
生:分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y,便得到了切线方程。
师:若将已知条件中圆半径改为r,点改为圆上任一点(xo,yo),则结论将会发生怎样的变化?大胆地猜一猜!
生:xox+yoy=r2.
师:这个猜想对不对?若对,可否给出证明?
生:。。。。。。
[例2]已知圆的方程是 x2+y2=r2,求经过圆上一点p(xo,yo)的切线的方程。
解:如图(上一页),因为切线与过切点的半径垂直,故半径op的斜率与切线的斜率互为负倒数
∵半径op的斜率 k1=,∴切线的斜率 k=-=-
∴所求切线方程:y-yo= - (x-xo)
即:xox+yoy=xo2+yo2 亦即:xox+yoy=r2. (教师板书)
当点p在坐标轴上时,可以验证上面方程同样适用。
归纳总结:圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换,可得到切线方程
[例3]右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱a2p2的长度。(精确到0.01m)
引导学生分析,共同完成解答。
师生分析:①建系; ②设圆的标准方程(待定系数);③求系数(求出圆的标准方程);④利用方程求a2p2的长度。
解:以ab所在直线为x轴,o为坐标原点,建立如图所示的坐标系。则圆心在y轴上,设为
(0,b),半径为r,那么圆的方程是 x2+(y-b)2=r2.