(4)分析法证实不等式的分析
①从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的充分条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证实方法就是分析法.
有时,我们也可以首先假定所要证实的不等式成立,逐步推出一个已知成立的不等式,只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法,注重应强调“以上每一步都可逆”,并说出可逆的根据.
②分析法的思路是“执果导因”:从求证的不等式出发,探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.
③用分析法证实不等式的逻辑关系是:
… .
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)
④分析法是教学中的一个难点,一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件,二是不易正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证实”“只需证实”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是证实不等式时一种常用的基本方法.当证实不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决.非凡对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.
(5)关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.
②在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.即推理方向是:结论 已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.即:已知 结论.
③分析法的特点是:从“结论”探求“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.
综合法的特点是:从“已知”推出“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.
④各有其优缺点:
从寻求解题思路来看:分析法是执果索因,利于思考,方向明确,思路自然,有希望成功;综合法由因导果,往往枝节横生,不轻易达到所要证实的结论.
从书写表达过程而论:分析法叙述繁锁,文辞冗长;综合法形式简洁,条理清楚.
也就是说,分析法利于思考,综合法宜于表达.
⑤一般来说,对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手,用分析法来书写又比较麻烦.因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证实,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.
(二)教法建议
①选择例题和习题要注重层次性.
不等式证实的三种方法主要是通过例题来说明的.教师在教学中要注重例题安排要由易到难,由简单到综合,层层深入,启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系.教师选择的练习题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当.
要坚持精讲精练的原则.通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系,对知识进行拓展、延伸,使学生沟通知识,有效地提高解题能力.